WEBVTT

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00:00:01.333 --> 00:00:05.200
えー 私の講義では
空間内の曲線や曲面を

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00:00:05.366 --> 00:00:10.766
微分積分や線形代数を用いて
調べる方法について解説いたします

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00:00:11.600 --> 00:00:14.066
講義のキーワードは 曲率です

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00:00:16.300 --> 00:00:18.866
こういった空間内の曲面の場合

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00:00:19.366 --> 00:00:25.766
曲率には平均曲率とガウス曲率という
2種類の曲率があります

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00:00:28.833 --> 00:00:33.900
例えば 画用紙を空間内にこのように
平らに置きますと

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00:00:34.366 --> 00:00:36.333
いずれの曲率も０になります

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00:00:38.100 --> 00:00:43.933
次に この画用紙を空間の中で
さまざまに折り曲げますと

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00:00:44.600 --> 00:00:46.233
平均曲率の方は

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00:00:47.000 --> 00:00:50.466
折り曲げ方に応じて
さまざまな値をとります

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00:00:52.266 --> 00:00:56.733
一方 ガウス曲率の方は空間内で
どのように折り曲げても

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00:00:56.866 --> 00:00:58.933
変わらずに０のままです

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00:01:02.000 --> 00:01:05.366
実際 数学的に厳密に証明できることは

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00:01:05.633 --> 00:01:11.700
ガウス曲率はこのように曲面上に
張り付いて生きている生命体

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00:01:11.966 --> 00:01:13.933
えー 生き物です 生き物ですね

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00:01:14.066 --> 00:01:18.666
生き物にも感知できる
そういう曲率であるということです

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00:01:20.700 --> 00:01:23.000
えー ガウスによるこの事実の発見は

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00:01:23.133 --> 00:01:26.966
アインシュタインの
一般相対性理論にもつながっています

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00:01:29.200 --> 00:01:32.766
えー 講義の最終目標は
ガウス･ボンネの定理です

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00:01:35.666 --> 00:01:40.333
このような 何人か乗りの
浮き輪の形をした曲面上で

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00:01:40.600 --> 00:01:42.733
ガウス曲率を積分します

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00:01:44.200 --> 00:01:48.400
つまり 曲面の全体的な
曲がり具合を計算してみます

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00:01:49.700 --> 00:01:51.000
ガウス･ボンネの定理は

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00:01:51.133 --> 00:01:57.566
この積分がこの浮き輪の穴の
個数だけで決まるこういった値と

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00:01:57.700 --> 00:02:01.566
一致することを主張する
大変 美しい定理です

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00:02:03.566 --> 00:02:05.166
私の講義を通じて

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00:02:05.300 --> 00:02:08.566
皆さんに幾何学の面白さを
お伝えしたいと考えています